Cos(3x) et sin(3x) - Corrigé

Énoncé

Soit \(x \in \mathbb{R}\) . Démontrer que :

1. `\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)`

2. `\sin(3x)=-4\sin^3(x)+3\sin(x)`

Solution

1. D'après la formule de Moivre,  `( \cos(x)+i\sin(x))^3=\cos(3x)+i\sin(3x) .`
On en déduit que `\cos(3x)=\Re\left[(\cos(x)+i\sin(x))^3\right]` .
D'après la formule du binôme de Newton, \(\begin{align*}(\cos(x)+i\sin(x))^3& = \cos^3(x)+3\cos^2(x)i\sin(x)+3\cos(x)(i\sin(x))^2+(i\sin(x))^3\\& = \cos^3(x)+3i\cos^2(x)\sin(x)-3\cos(x)\sin^2(x)-i\sin^3(x).\end{align*}\)
On a donc \(\cos(3x)=\cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x)\) , et donc
\(\begin{align*}\cos(3x)& = \cos^3(x)-3\cos(x)\sin^2(x)\\& = \cos^3(x)-3\cos(x)(1-\cos^2(x))\\& = \cos^3(x)-3\cos(x)+3\cos^3(x)\\& = 4\cos^3(x)-3\cos(x).\end{align*}\)

2. On reprend les calculs de la question précédente, en utilisant cette fois  \(\sin(3x)=\text I\text m\left[(\cos(x)+i\sin(x))^3\right]\) .
On a donc \(\sin(3x)=3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)\) , et donc
\(\begin{align*}\sin(3x)& = 3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)\\& = 3(1-\sin^2(x))\sin(x)-\sin^3(x)\\& = 3\sin(x)-3\sin^3(x)-\sin^3(x)\\& = 3\sin(x)-4\sin^3(x).\end{align*}\)